¿Cómo crear una Indicadora Tissot precisa?

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Un Tissot Indicatrix es un método útil para comunicar de un vistazo los tipos de distorsión a los que es propensa (En la siguiente figura, cada uno de los círculos rojos ocupa la misma área). Me han dicho que los métodos populares para generar TI tienen sus propios problemas, hasta el punto de ser a veces lamentablemente inexacto.

¿Cuál es el problema con los métodos populares y cuál es la forma más correcta de generar una TI que sea accesible para su amigo (ette) GIS promedio?

    
pregunta matt wilkie 12.01.2011 - 19:18

1 respuesta

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Cualquier software que pueda proyectar coordenadas con precisión puede calcular indicaciones exactas de Tissot .

Una buena fuente para las fórmulas es Snyder, John, Proyecciones de mapas: un manual de trabajo , principalmente en pp 20-26. (No los reproduciré aquí porque este sitio no tiene las herramientas adecuadas para comunicar fórmulas matemáticas). Requieren las cuatro primeras derivadas de las coordenadas proyectadas (x, y) con respecto a las coordenadas esféricas (lat, lon) = (phi, lambda):

dx / d(phi), dx / d(lambda);
dy / d(phi), dy / d(lambda).

Todo lo demás sobre las TI se computa en términos de éstas (utilizando algunas funciones aritméticas y trigonométricas: el coseno, el seno inverso principal y la tangente inversa principal). Los cálculos requieren una descripción de la forma de la tierra. Para obtener la mayor precisión, utilice un dato elipsoidal con semieje mayor a y excentricidad e. (El software los conocerá).

El libro de Snyder tiene instrucciones sobre cómo calcular todo excepto estos derivados. Hágalo numéricamente. He obtenido excelentes resultados al utilizar las estimaciones de diferencias finitas de primer orden a una distancia de h = 10 ^ (- 5.2) radianes (generalmente alrededor de 50 metros): este es un buen compromiso entre tratar de acercarse infinitesimalmente y perder demasiada precisión en el redondeo de punto flotante (suponiendo una precisión doble), porque el error es proporcional a (10 ^ (- 5.2)) ^ 2 = 10 ^ (- 10.4) y 10 ^ (- 5.2) es igual a 10 ^ 10.4 veces la precisión de doble precisión IEEE de 10 ^ (- 15.6) y aún es mucho más grande que lo típico precisión en las proyecciones, que por lo general van desde 10 ^ (- 10) hasta aproximadamente 10 ^ (- 14).

Entonces, ¿cómo calculamos las estimaciones en diferencias finitas? Esta parte es sorprendentemente fácil. Para obtener dx / d (phi) en un punto (phi, lambda), solicite a su SIG que proyecte los puntos

(phi - h/2, lambda) --> (x0,y0),
(phi + h/2, lambda) --> (x1,y1).

Usa las estimaciones

dx / d(phi) = (x1 - x0)/h,
dy / d(phi) = (y1 - y0)/h.

Del mismo modo, proyecta los puntos

(phi, lambda - h/2) --> (x2,y2),
(phi, lambda + h/2) --> (x3,y3)

y usa las estimaciones

dx / d(lambda) = (x3 - x2)/h,
dy / d(lambda) = (y3 - y2)/h.

Eso requiere cuatro proyecciones y un poco de aritmética. (Puede reducirlo a tres usando diferencias no centrales, pero la precisión disminuye un poco. Es sabio apuntar a una alta precisión, sin dejar que h se haga demasiado pequeño, a menos que esté seguro de que su SIG está utilizando la calidad de la encuesta (milímetro) precisión en sus fórmulas de proyección.)

De estos derivados, junto con las fórmulas de Snyder (prestando atención a las modificaciones descritas en 4-19 y 4-21), puede obtener las longitudes de los ejes de la Indicatrix Tissot en (phi, lambda) y su orientación. En los mapas a escala mundial, el TI será tan pequeño como para ser invisible, por lo que lo último que hay que hacer es decidir cuánto desea escalar cada TI. Determino el factor de escala descubriendo qué tan grande será el mapa, encontrando los tamaños de las TI típicas en el mapa y escalando de manera que esas TI tengan aproximadamente un 6% de ancho como el mapa. Es un buen comienzo, de todos modos; Dejo que el usuario ajuste el tamaño de la TI desde allí. Por supuesto, cambiará la escala de todas las TI en la misma cantidad, de modo que se puedan comparar, y cada una se ajustará a su propio centro (que se obtiene mediante una quinta proyección, (phi, lambda) - > (x, y )).

Una buena adición a la representación elíptica del TI es mostrar las direcciones del meridiano local y el paralelo: luego, de un vistazo, puede evaluar el convergencia de cuadrícula . También muestro un círculo estándar (que no representa distorsión) concéntrico con cada TI porque mejora la capacidad del lector para medir la cantidad de distorsión representada por cada elipse.

Es de destacar en esta proyección de Mollweide el extremo de TI cerca del polo sur. Sigue siendo una elipse perfecta y describe con precisión la distorsión del mapa allí.

    
respondido por el whuber 12.01.2011 - 21:47

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