¿Cuál es el error aproximado del Fórmula de Haversine sobre el Teorema de Pitágoras frente a la fórmula de Haversine en varias escalas?

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Muchas personas cuando intentan calcular las distancias entre dos pares de longitud / latitud preguntan si el teorema de Pitágoras funciona como una función de distancia apropiada.

La mayoría de las personas responden "no, el teorema de Pitágoras solo funciona en un plano euclidiano 2D". Sin embargo, en raras ocasiones, las personas mencionan el efecto de la escala y la ubicación en la esfera sobre cuán inexacto es el teorema de Pitágoras.

La idea básica es a escalas muy pequeñas, la superficie de una esfera se parece mucho a un plano. A escalas muy grandes, las distancias a lo largo de la superficie son más curvas y, por lo tanto, la diferencia entre el teorema de Pitágoras incorrecto y la fórmula de Haversine correcta es mayor.

¿Alguien sabe una fórmula o regla general que le diga la diferencia entre las dos medidas de distancia según la escala de la distancia que está tratando de medir?

Creo que tener esto explícitamente ayudaría en:

  1. explicando por qué el Teorema de Pitágoras no es perfecto; y
  2. al permitir que las personas que buscan distancias más "ásperas" sepan cuándo Pythagoras realmente cumplirá sus propósitos.
pregunta Amos Budde 20.04.2013 - 20:41

3 respuestas

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Usar la fórmula de Pitágoras en posiciones dadas en latitud y longitud tiene tan poco sentido como, digamos, calcular el área de un círculo usando la fórmula de un cuadrado: aunque produce un número, no hay razón para suponer que deba hacerlo. trabajo.

Aunque a pequeña escala, cualquiera , la superficie lisa se parece a un plano, la precisión de la fórmula de Pitágoras depende de las coordenadas utilizadas. Cuando esas coordenadas son latitud y longitud en una esfera (o elipsoide), podemos esperar que

  1. Las distancias a lo largo de las líneas de longitud serán razonablemente precisas.

  2. Las distancias a lo largo del ecuador serán razonablemente precisas.

  3. Todas las demás distancias serán erróneas, en proporción aproximada a las diferencias en latitud y longitud.

El error depende del punto de inicio y final de los cálculos de distancia. Sin embargo, debido a que tanto la esfera como el elipsoide tienen una simetría circular alrededor del eje, el error depende solo de la diferencia de las longitudes, por lo tanto, para estudiar este error, también podemos considerar que el punto de origen es en el Prime Meridian. Debido a que tanto la esfera como el elipsoide son simétricos en una reflexión de norte a sur, solo necesitamos estudiar los puntos de origen en el hemisferio sur. Para cualquiera de estos puntos, podemos dibujar un mapa de contorno del error relativo, igual a [Cálculo de Pitágoras] / [Distancia verdadera].

La fórmula de Pitágoras, que utiliza el radio medio de la tierra, es

Pythagorean distance =  6371000. * Sqrt[dx^2 + dy^2]] * pi / 180 meters

donde dx es la diferencia en longitudes y dy es la diferencia en latitudes, ambos en grados. (La diferencia en los valores de longitud se reduce en módulo 360 para dar el valor correcto de dx cuando se cruza con el antimeridiano; de lo contrario, se introducirían errores artificialmente grandes que no nos dicen nada acerca de la fórmula pitagórica en sí).

Las siguientes gráficas muestran el error relativo en comparación con la distancia correcta en el elipsoide WGS 84 para latitudes de -70 a 0 en incrementos de 10 grados. La coordenada horizontal es la diferencia en longitudes y la coordenada vertical es la latitud del destino. Las regiones de luz tienen un error relativamente pequeño: las líneas de contorno están en 1, 1.01, 1.02, 1.05, 1.1, 1.2, 1.5, 2, etc. (Las áreas blancas puras en las esquinas son lugares donde el error va más allá del rango de estos contornos .) Los puntos rojos muestran el punto de origen.

Las bandas blancas verticales atestiguan la exactitud de la expectativa (1): las distancias pitagóricas son precisas cuando hay una pequeña diferencia en las longitudes. Las bandas blancas horizontales en latitudes bajas confirman la expectativa (2): cerca del ecuador, las distancias horizontales son razonablemente precisas. De lo contrario, como lo atestiguan las extensas regiones más oscuras, en todas otras distancias, la fórmula de Pitágoras es mala.

Podemos realizar estimaciones cuantitativas del error máximo alcanzado para pares de puntos cercanos (dentro de, por ejemplo, unos pocos cientos de kilómetros entre sí). La escala (usando un valor apropiado para el radio) es verdadera a lo largo del meridiano, pero a lo largo de un círculo de latitud se equivoca aproximadamente por la secante de la latitud. Por ejemplo, a una latitud de 40 grados, la secante es 1.31, lo que implica que la fórmula de Pitágoras dará distancias aproximadamente un 31% demasiado grandes en la dirección este-oeste. (Esto es evidente en el diagrama de contorno superior derecho, para un punto de origen a -40 grados de latitud, donde la región inmediatamente este-oeste del punto rojo se encuentra entre los contornos 1.2 y 1.5). Las distancias cortas en todas las demás direcciones serán demasiado grande por alguna cantidad entre 0% y 31%; las distancias más largas pueden errar aún más (como muestran los gráficos de contorno).

    
respondido por el whuber 21.04.2013 - 04:26
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Interpreté "Distancia pitagónica" como "Distancia euclidiana". Entonces el la respuesta es la misma que "¿cuál es la diferencia entre la longitud de un ¿Acorde de un círculo y el perímetro subtendido? "Deje que el radio sea R, el ángulo subtendido es A (radianes).

perimeter = L = A*R
chord = C = 2*sin(A/2)*R
diff = D = L - C
     = (A-2*sin(A/2))*R
     = A^3/24 * R  (for A small)
     = L^3/(24*R^2) (eliminating A)
relative error = D/L
               = (L/R)^2/24

Para la tierra, sustituye R = 6400 km. Por cierto, llámelo "gran distancia de círculo" (lo que es) no "haversine" distancia "(cómo se calcula). (Esto es similar a la distinción entre la distancia pitagórica y la distancia euclidiana.)

    
respondido por el cffk 21.04.2013 - 17:32
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Para obtener una respuesta completa y rigurosa, consulte la respuesta de whuber más arriba. Voy a responder de una manera más visual y básica.

La razón por la que los cálculos planares / pitagóricos son inapropiados es porque los cálculos se basan en el hecho de que moverse un paso en cualquier dirección es un cambio constante en la magnitud, independientemente de dónde se encuentre en la gráfica.

Lalongitudnocumpleconesterequisito.Laslíneasdelongitudconvergenenlospolos.

Poreso,cuandoaplanamoslaTierraparareflejarlasreglasdeungráficoplano,obtenemosdistorsión.

Simirasesemapa,parecequeGroenlandiaesaproximadamentedeltamañodeÁfricaylaAntártidaesaproximadamentedeltamañodeEurasia.Porsupuestoqueesonoescierto.GroenlandiaylaAntártidaestánextremadamentedistorsionadasporqueestáncercadelospolosdondelalongitudconverge.

Comosepuedever,GroenlandiaesaproximadamentedeltamañodeMéxico.

Y la Antártida tiene aproximadamente el tamaño del sur de África (no de Sudáfrica).

Como puedes ver, los errores que obtendrás aplicando fórmulas de Pitágoras dependen más de dónde están los puntos que de la distancia entre los puntos. Con la importante advertencia de que las distancias más largas aumentarán los errores. Es por esto que las soluciones planas, aunque son tentadoras, son una mala elección. Las distorsiones te morderán y no es tan simple como un desplazamiento. Los errores son el resultado de deformar la tierra para que se ajuste a reglas inapropiadas.

    
respondido por el Erik 02.03.2016 - 19:23