¿Son los elipsoides una necesidad matemática?

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La literatura por lo general solo nos dice que el Geoide es demasiado complejo para describirlo matemáticamente y que, por lo tanto, ajustamos diferentes Elipsoides para aproximarnos.

¿Son estos Elipsoides matemáticamente necesarios, o podríamos definir proyecciones desde el modelo Geoide a las coordenadas del plano también?

    
pregunta underdark 07.03.2013 - 08:02

3 respuestas

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Esto resume mi comprensión de algunas de las ideas básicas. Debido a que es difícil encontrarlos todos claramente descritos y resumidos en un solo lugar, podría estar equivocado o ser engañoso acerca de algunos de ellos: los comentarios y correcciones son bienvenidos.

"Geoides" son aproximaciones a una superficie de equipotencial gravitacional.

  

El geoide es una hipotética superficie terrestre que representa el nivel medio del mar en ausencia de vientos, corrientes y la mayoría de las mareas. El geoide es una superficie de referencia útil. Define la horizontal en todas partes y la gravedad actúa perpendicular a ella. El nivel de un carpintero se alinea a lo largo del geoide y la plomada del carpintero apunta hacia la vertical o perpendicular al geoide. El agua no fluirá en los acueductos si las tuberías están perfectamente alineadas a lo largo del geoide. Los topógrafos utilizan el conocimiento del geoide y de la horizontal cuando trazan carreteras y límites.

(NASA)

Paratenerunaideadeloqueseganaenrelaciónconunaesferaoelipsoide,tengaencuentaque

  • Ladiferenciaenlaselevacionesaparentesentreunmodeloesféricoyunbuenelipsoideesdehastadosdocenasdekilómetros.Estosetraduceendiscrepanciasdeposicionamientomáximasde aproximadamente 22 kilómetros . La cantidad relativamente grande de discrepancia de posicionamiento ocurre porque hay una distorsión sistemática de la esfera en relación con el elipsoide: alcanza un extremo en los polos y otro extremo en el ecuador.

  • La diferencia en las elevaciones aparentes entre un buen elipsoide y un geoide es típicamente menos de 100 metros (alrededor de 0.1 kilómetros). Esta no es una diferencia sistemática: varía mucho en secciones relativamente cortas de la tierra (del orden de cientos de kilómetros). En consecuencia, la máxima discrepancia en el posicionamiento horizontal que resulta de cualquier proyección hipotética basada en geoides es probable que sea del orden de metros o menos (generalmente mucho menos, excepto quizás en áreas extensas y cuidadosamente seleccionadas).

  • Sin embargo, la desviación del geoide (que es la cantidad en que varía la verdadera dirección vertical gravitacional) alcanza aproximadamente un segundo de arco, lo que la hace inadecuada para cualquier tipo de mapeo de muy alta precisión basado en Medición de la latitud en términos de un ángulo local que apunta hacia arriba. Un segundo de arco de desviación se traduce en casi 30 metros en el suelo, y dichas desviaciones pueden variar de un extremo a otro en unos pocos cientos de kilómetros.

A cambio de exprimir ese último 0,5% de precisión al describir cómo varía el geoide con respecto al elipsoide, necesita cientos de cientos de miles de parámetros en comparación con dos para describir un elipsoide. Sí, es matemáticamente posible definir una proyección basada en un geoide en lugar de un elipsoide. [Consulte "Gráficos de coordenadas" en las páginas 4-5 de este texto , por ejemplo . La definición matemática moderna de superficies curvas suaves, como un geoide, se basa en un conjunto de proyecciones. El Teorema implícito de funciones garantiza que tales proyecciones existen para el geoide.] La computación sería, por decir lo menos, ineficiente (aunque podría acelerarse por interpolación en tablas precomputadas). Cuando sea necesario, la diferencia en el posicionamiento vertical se puede calcular después de la proyección basada en elipsoide en términos de los parámetros de geoide o mediante la interpolación en una cuadrícula precalculada de valores de geoide.

Un problema potencial grave al basar las proyecciones de mapas en un geoide como superficie de referencia es que el geoide está cambiando constantemente en todo el mundo. Se cambiará con los cambios en el nivel del mar , por ejemplo.

Debido a que en la actualidad gran parte de la actividad se realiza en coordenadas geocéntricas, en lugar de mediante dispositivos de triangulación basados en la gravedad (como los niveles), el uso de un geoide es prácticamente irrelevante: un elipsoide, por muy bien que esté relacionado o no. La gravedad, el nivel del mar o la forma real de la tierra: sirve como una superficie de referencia razonablemente estable en relación con la cual se puede ubicar y mapear todo lo demás. El geoide se describe entonces en relación con esta referencia. Su descripción se utiliza en el mapeo principalmente para permitir que los satélites GPS mejoren su precisión de posicionamiento.

    
respondido por el whuber 07.03.2013 - 09:52
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No soy un experto en geodesia, pero según mi entender, el geoide es la forma que la superficie de los océanos tomaría bajo la influencia de la gravedad solo. Es la superficie en la que la intensidad de la gravedad es la misma.

El problema no es que se describa matemáticamente difficult , pero podría ser imposible predecir correctamente y con precisión.

Por ejemplo, cerca de una cordillera, como el Himalaya o los Andes, cambia drásticamente, debido a la gran masa contenida en las cordilleras. incluso cambia estacionalmente debido a la cantidad de agua en un depósito detrás de una presa ( en las regiones cercanas a la presa)

Por otra parte, el Elipsoide es una superficie regular, que se puede utilizar como una aproximación suave de la superficie ideal de la Tierra.

    
respondido por el Devdatta Tengshe 07.03.2013 - 09:30
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Sí, debes usar un elipsoide (u otras superficies matemáticas ).

la razón es que el Geoide es una superficie Física (definida como la superficie equipotencial del campo de fuerza de gravedad). Significado simple: no tiene una fórmula matemática (otro significado simple: es una superficie a la altura del nivel medio del mar que si pones una gota de agua no se moverá).

el Geoide no se puede crear ni utilizar matemáticamente en los cálculos porque su la forma depende de la distribución irregular de la masa dentro de la Tierra ( referencia ).

La proyección (aquí) es una acción matemática entre dos superficies matemáticas (esfera / elipsoide / etc al plano / cono / cilindro / etc aquí)

Al medir con el nivel de Dumpy / teodolito / estación total, mide con referencia al geoide, ya que equilibra el dispositivo en relación con el campo gravitacional.

Al medir con un gps, usted mide con referencia al elipsoide (como se define en el Datum WGS84)

    
respondido por el dowi 10.05.2014 - 20:17

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