¿Cómo se calcula el radio de la Tierra en una latitud geodésica dada?

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(Veo que hay una ecuación en wikipedia que hace exactamente lo que estoy pidiendo pero no hay referencias ¡No tengo forma de confirmar la validez de esta ecuación!)

Ya entiendo la diferencia entre la latitud geocéntrica y la latitud geodésica.

Suponiendo que se conocen los radios semi mayor, a y semi menor, b . ¿Cómo se calcula el radio en una latitud geodésica determinada?

Necesito algún tipo de confirmación de experto (derivación, enlace a derivación, confirmación de experto, explicación, etc.).

    
pregunta Trevor Boyd Smith 13.02.2012 - 02:21

3 respuestas

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Esta pregunta asume un modelo elipsoidal de la tierra. Su superficie de referencia se obtiene girando una elipse alrededor de su eje menor (trazado verticalmente por convención). Dicha elipse es solo un círculo que se ha estirado horizontalmente por un factor de a y verticalmente por un factor de b . Usando la parametrización estándar del círculo unitario,

t --> (cos(t), sin(t))

(que define coseno y seno), obtenemos una parametrización

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(Los dos componentes de esta parametrización describen un viaje alrededor de la curva: especifican, en coordenadas cartesianas, nuestra ubicación en "tiempo" t .)

La latitud geodésica , f , de cualquier punto es el ángulo que "hacia arriba" forma el plano ecuatorial. Cuando a difiere de b , el valor de f difiere del de t (excepto a lo largo del ecuador y en los polos).

Enestaimagen,lacurvaazulesuncuadrantedetalelipse(muyexageradaencomparaciónconlaexcentricidaddelatierra).Elpuntorojoenlaesquinainferiorizquierdaessucentro.Lalíneadiscontinuadesignaelradioaunpuntoenlasuperficie.Sudirección"hacia arriba" se muestra con un segmento negro: es, por definición, perpendicular a la elipse en ese punto. Debido a la excentricidad exagerada, es fácil ver que "arriba" no es paralelo al radio.

En nuestra terminología, t se relaciona con el ángulo formado por el radio con respecto a la horizontal y f es el ángulo formado por ese segmento negro. (Tenga en cuenta que cualquier punto de la superficie se puede ver desde esta perspectiva. Esto nos permite limitar tanto t como f para situarse entre 0 y 90 grados; sus cosenos y senos serán positivos, por lo que no debemos preocuparnos por las raíces cuadradas negativas en las fórmulas.)

El truco consiste en convertir de t -parameterization a uno en términos de f , porque en términos de t el radio R es fácil de calcular (a través del teorema de Pitágoras). Su cuadrado es la suma de cuadrados de los componentes del punto,

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

Para realizar esta conversión necesitamos relacionar la dirección "arriba" f con el parámetro t . Esta dirección es perpendicular a la tangente de la elipse. Por definición, una tangente a una curva (expresada como un vector) se obtiene al diferenciar su parametrización:

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(La diferenciación calcula la tasa de cambio. La tasa de cambio de nuestra posición a medida que viajamos por la curva es, por supuesto, nuestra velocidad , y eso siempre apunta a lo largo de la curva.)

Gire esto en el sentido de las agujas del reloj 90 grados para obtener el perpendicular, denominado vector "normal":

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

La pendiente de este vector normal, igual a (a sin (t)) / (b cos (t)) ("aumento sobre corrida"), también es la tangente del ángulo que forma la horizontal, por lo que

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

Equivalentemente,

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(Si tiene una buena visión de la geometría euclidiana, puede obtener esta relación directamente de la definición de una elipse sin pasar por ningún trigon o cálculo, simplemente reconociendo que las expansiones horizontal y vertical combinadas por a y b respectivamente tienen el efecto de cambiar todas las pendientes por este factor b / a .)

Vuelva a mirar la fórmula para R (t) ^ 2: sabemos a y b : determinan la forma y el tamaño de la elipse, por lo que solo necesitamos encontrar cos (t) ^ 2 y sin (t) ^ 2 en términos de f , que la ecuación anterior nos permite hacer fácilmente:

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(Cuando tan (f) es infinito, estamos en el polo, así que solo establece f = t en ese caso))

Esta es la conexión que necesitamos. Sustituye estos valores por cos (t) ^ 2 y sin (t) ^ 2 en la expresión por R (t) ^ 2 y simplifica para obtener

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

Una transformación simple muestra que esta ecuación es la misma que la que se encuentra en Wikipedia. Porque a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 y (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4,

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )
    
respondido por el whuber 13.02.2012 - 17:54
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Es interesante descubrir que mi solución analfabeta matemática funcionó con 5 minutos de pensamiento y codificación, ¿no debería considerarse el factor de aplanamiento en lugar de un modelo elíptico perfecto?

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 
    
respondido por el Howard Grover 20.12.2015 - 08:33
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AlmenosesaeslafórmulaqueencontréenelCentrodeEvaluaciónyAnálisisdeDatos(DAAC)deEE.UU.paraelProgramadeModernizacióndeComputacióndeAltoRendimiento(HPCMP)delDepartamentodeDefensa(DoP)wiki . Dice que tomó mucho de la entrada de Wikipedia . Aún así, el hecho de que retengan esa fórmula debería contar para algo.

    
respondido por el R.K. 13.02.2012 - 15:34

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