¿Qué tan precisa es aproximar la Tierra como una esfera?

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¿Qué nivel de error encuentro al aproximar la Tierra como una esfera? Específicamente, cuando se trata de la ubicación de los puntos y, por ejemplo, las grandes distancias circulares entre ellos.

¿Hay algún estudio sobre el error promedio y en el peor de los casos en comparación con un elipsoide? Me pregunto cuánta precisión estaría sacrificando si fuera con una esfera para hacer cálculos más fáciles.

Mi escenario particular implica el mapeo directo de coordenadas WGS84 como si fueran coordenadas en una esfera perfecta (con el radio medio definido por el IUGG) sin ninguna transformación.

    
pregunta Jeff Bridgman 15.05.2012 - 19:44

2 respuestas

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En resumen, la distancia puede ser errónea hasta aproximadamente 22 km o 0,3%, dependiendo de los puntos en cuestión. Eso es:

  • El error se puede expresar de varias maneras naturales y útiles , como el error (i) (residual), igual a la diferencia entre las dos distancias calculadas (en kilómetros), y (ii) error relativo, igual a la diferencia dividida por el valor "correcto" (elipsoidal). Para producir números convenientes para trabajar, multiplico estas proporciones por 1000 para expresar el error relativo en partes por mil .

  • Los errores dependen de los puntos finales. Debido a la simetría rotacional del elipsoide y la esfera y sus simetrías bilaterales (norte-sur y este-oeste), podemos colocar una de las puntos finales en algún lugar a lo largo del primer meridiano (longitud 0) en el hemisferio norte (latitud entre 0 y 90) y el otro punto final en el hemisferio oriental (longitud entre 0 y 180).

Para explorar estas dependencias, he trazado los errores entre los puntos finales en (lat, lon) = (mu, 0) y (x, lambda) en función de la latitud x entre -90 y 90 grados. (Todos los puntos están nominalmente a una altura de elipsoide de cero.) En las figuras, las filas corresponden a los valores de mu en {0, 22.5, 45, 67.5} grados y columnas a los valores de lambda en {0, 45, 90, 180} grados Esto nos da una buena visión del espectro de posibilidades. Como se esperaba, sus tamaños máximos son aproximadamente el aplanamiento (alrededor de 1/300) veces el eje mayor (alrededor de 6700 km), o aproximadamente 22 km.

Errores

Erroresrelativos

Gráfico de contorno

Otra forma de visualizar los errores es arreglar un punto final y dejar que el otro varíe, contorneando los errores que surjan. Aquí, por ejemplo, hay un gráfico de contorno donde el primer punto final está a 45 grados de latitud norte, 0 grados de longitud. Como antes, los valores de error están en kilómetros y los errores positivos significan que el cálculo esférico es demasiado grande:

Puedequeseamásfácildeleercuandoestáenvueltoentodoelmundo:

El punto rojo en el sur de Francia muestra la ubicación del primer punto final.

Para el registro, aquí está el código Mathematica 8 utilizado para los cálculos:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Y uno de los comandos de trazado:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]
    
respondido por el whuber 16.05.2012 - 19:11
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He explorado esta pregunta recientemente. Creo que la gente quiere saber

  1. ¿Qué radio esférico debo usar?
  2. ¿cuál es el error resultante?

Una métrica razonable para la calidad de la aproximación es el máximo Error relativo absoluto en la distancia del gran círculo

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

con el máximo evaluado sobre todos los pares de puntos posibles.

Si el aplanamiento f es pequeño, el radio esférico que minimiza err está muy cerca de (a + b) / 2 y el error resultante trata de

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(evaluado con 10 ^ 6 pares de puntos elegidos al azar). Lo es a veces Se sugiere utilizar (2 * a + b) / 3 como el radio esférico. Esto resulta en una error ligeramente mayor, err = 5 * f / 3 = 0.56% (para WGS84).

Geodésicas cuya longitud es más subestimada por la esférica la aproximación se encuentra cerca de un polo, por ejemplo, (89.1,0) a (89.1,180). Geodésicos cuya longitud está más sobreestimada por la aproximación esférica son meridionales cerca del ecuador, por ejemplo, (-0.1.0) a (0.1.0).

ADENDA : Aquí hay otra forma de abordar este problema.

Seleccione pares de puntos distribuidos uniformemente en el elipsoide. Medida la distancia elipsoidal s y la distancia en una unidad esfera t . Para cualquier par de puntos, s / t da un radio esférico equivalente. Promedio esto cantidad sobre todos los pares de puntos y esto da una media equivalente radio esférico. Hay una pregunta de cómo exactamente el promedio debería ser hecho Sin embargo todas las opciones que probé

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

todo salió a unos pocos metros del radio medio recomendado por IUGG, R 1 = (2 a + b ) / 3. Por lo tanto, este valor minimiza el error RMS en esféricos cálculos de distancia. (Sin embargo, se traduce en un máximo ligeramente mayor error relativo comparado con ( a + b ) / 2; ver arriba.) Dado que R 1 es Es probable que se utilice para otros fines (cálculos de área y similares), hay una buena razón para seguir con esta opción para los cálculos de distancia.

La línea inferior :

  • Para cualquier tipo de trabajo sistemático, donde puede tolerar un error del 1% en cálculos de distancia, use una esfera de radio R 1 . El maximo El error relativo es del 0,56%. Use este valor de manera consistente cuando se aproxime a la tierra con una esfera.
  • Si necesita precisión adicional, resuelva la geodésica elipsoidal problema.
  • Para la parte posterior de los cálculos del sobre, use R 1 o 6400 km o 20000 / pi km o a . Esto da como resultado un error relativo máximo de aproximadamente el 1%.

OTRA ADENDA : puedes exprimir un poco más de precisión de la gran distancia del círculo usando μ = tan −1 ((1 - f ) 3/2 tanφ) (la latitud rectificadora de un hombre pobre) como la latitud en el cálculo del gran círculo. Esto reduce el error relativo máximo de 0.56% a 0.11% (usando R 1 como el radio de la esfera). (No está claro si realmente vale la pena adoptar este enfoque en lugar de calcular directamente la distancia geodésica elipsoidal).

    
respondido por el cffk 07.06.2013 - 23:30

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