Hay muchas formas de ponderar distancias para construir polígonos de Thiessen. La idea básica para construirlos se basa en comparar la distancia entre un punto arbitrario x y dos puntos fijos p y q ; debe decidir si x está "más cerca" de p que de q o no. Con este fin, al menos conceptualmente, consideramos las distancias dp = d ( x , p ) y dq = d ( x , q ). La ponderación generalmente se produce de dos maneras: a los puntos se les puede dar ponderaciones numéricas positivas wp y wq y las distancias se pueden transformar.
Para que tenga sentido, la transformación (que escribiré como f ) debería aumentar a medida que aumenten las distancias; es decir, f (d ') > f (d) siempre que d '> d > = 0. Los ejemplos de tales transformaciones son f (d) = d + 1, f (d) = d ^ 2 (Ley de Reilly de la Gravitación Minorista), f (d) = 1 - 1 / d (asumiendo todas las distancias son menores que 1), f (d) = log (d), f (d) = exp (d) -1.
Entonces diríamos que x está "más cerca" de p que de q exactamente cuando
f (d ( x , p )) / wp < f (d ( x , q )) / wq.
Observe la división por los pesos, en lugar de la multiplicación: esto significa que los pesos grandes tenderán a "tirar" los puntos a distancias más grandes. Verás esto en el siguiente ejemplo de ejecución.
Aquí está lo bello, y el punto central de esta exposición algo abstracta: aunque las regiones de Thiessen resultantes pueden tener límites complejos, extremadamente difíciles de calcular, son relativamente fáciles de calcular usando una representación basada en cuadrícula. Aquí está la receta:
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Para cada punto de entrada p , calcula su cuadrícula de distancia euclidiana [d (p)].
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Usa el Álgebra de mapas para aplicar f y los pesos, reexpresando cada cuadrícula de distancia como
[fp] = f ([d (p)]) / wp.
Aquí hay un ejemplo que usa f (d) = 100 + d ^ (3/2); La escala es de 400 por 600.

Amedidaqueaumentaf(d),elvalorseoscurece.Evidentemente,ladistanciaenesteejemploesconrespectoalpuntorojocentral;losotroscuatropuntosobtienensuscálculosdedistanciaporseparado(nosemuestran).Lasáreasdelospuntossonproporcionalesasuspesos,queson2,10,3,4y5.
Calculeelmínimolocaldetodasestascuadrículas[fp].Llamaaesto[f].Aquíhayunejemplo.
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Al comparar [f] con cada [fp], a cada celda de la cuadrícula asigne el identificador de la primera p para la cual [f] > = [fp]. (Esto se puede hacer en un solo paso con un posición más baja operación, por ejemplo.)

(Dudoqueexistaunalgoritmoencualquierlugarquecalculeunasolucióndeformatovectorialparaestafuncióndeponderaciónf.)
Obviamente,sitienesmásdeunpuñadodepuntosp,escribirásesto,ysisunúmeroasciendeamiles,probablementeabandonaráselintentoporsercomputacionalmenteimpracticable(aunquehayformasdeacelerarlo).elcálculopormosaico).
Otroejemplo,quemuestralospolígonosdeThiessenenunelipsoide,apareceen enlace .